Question

已知數(shù)列a_n滿足
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)，數(shù)列c_n的前n項(xiàng)和為T_n．求證：對(duì)任意的．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，所以，再由，知數(shù)列（n∈N^*）是以3為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，由此可求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式a_n．
（2）由題設(shè)知b_n=（3×2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1，所以
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）由題意知，∴，，再由T₁＜T₂＜T₃，知對(duì)任意的n∈N^*，T_n．
解答：解：（1）∵，∴，
又∵，所以數(shù)列（n∈N^*）是以3為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，
∴．
（2）b_n=（3×2^n-1+1）²
=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
∴
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）證明：由（1）知，∴，當(dāng)n≥3時(shí)，則
=
又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴對(duì)任意的n∈N^*，T_n．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用和性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用，注意積累解題方法．