Question

20．已知橢圓$C：\frac{x^2}{8+a}+\frac{y^2}{9}=1$的焦距為$4\sqrt{2}$，則a=9或-7；當a＜0時，橢圓C上存在一點P，有|PF₁|=2|PF₂|（F₁，F(xiàn)₂為橢圓焦點），則△F₁PF₂的面積為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 當焦點在x軸上時，解得a=9；當焦點在y軸上時，解得a=-7，由此能求出a的值；當a＜0時，橢圓方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，求出|PF₂|=2，∴|PF₁|=4，|F₁F₂|=2c=4$\sqrt{2}$，由此能求出△F₁PF₂的面積．

解答 解：∵橢圓$C：\frac{x^2}{8+a}+\frac{y^2}{9}=1$的焦距為$4\sqrt{2}$，
∴當焦點在x軸上時，8+a-9=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=9；
當焦點在y軸上時，9-（8+a）=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=-7，
綜上，a的值為9或-7．
當a＜0時，橢圓方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
橢圓C上存在一點P，有|PF₁|=2|PF₂|（F₁，F(xiàn)₂為橢圓焦點），
由橢圓定義得：|PF₁|+|PF₂|=3|PF₂|=6，解得|PF₂|=2，∴|PF₁|=4，
∵|F₁F₂|=2c=4$\sqrt{2}$，∴p=$\frac{1}{2}$（2+4+4$\sqrt{2}$）=3+2$\sqrt{2}$，
∴△F₁PF₂的面積S=$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）（1+2\sqrt{2}）（-1+2\sqrt{2}）（3-2\sqrt{2}）}$=$\sqrt{7}$．
故答案為：9或-7，$\sqrt{7}$．

點評 本題考查實數值的求法，考查三角形面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．