當今世界進入了計算機時代,我們知道計算機裝置有一個數(shù)據(jù)輸入口A和一運算結果輸出口B,某同學編入下列運算程序,將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質:
①從A輸入1時,從B得到數(shù)學公式;
②從A輸入整數(shù)n(n≥2)時,在B得到的結果f(n)是將前一結果f(n-1)先乘以奇數(shù)2n-3,再除以奇數(shù)2n+1.
(1)求f(2),f(3),f(4);
(2)試由(1)推測f(n)的表達式,并用數(shù)學歸納法證明;
(3)求數(shù)學公式

(1)解:是題意知f(1)=,f(n)=f(n-1),
∴當n=2時f(x)=,
當n=3時f(3)=,
當n=4時f(4)=,
猜想f(n)=.…(3分)
(2)證明:(。┊攏=1時f(1)=滿足f(n)=
(ⅱ)假設n=k(k∈N*且k≥1)時,f(k)=.,
那么n=k+1時,f(k+1)=f(k)=×=
∴n=k+1時也滿足f(n)=
綜上知:f(n)=.…(8分)
(3)=
=lim(1-+-+…+-
== …(12分)
分析:(1)由已知,得出f(n)=f(n-1)(n≥2).依次令n=2,3,4可求出f(2),f(3),f(4);
(2)根據(jù)(1)的結果,推測并依照數(shù)學歸納法進行證明.
(3)f(n)=裂項為).求和后再求極限.
點評:本題考查閱讀、推理、論證、計算能力,借助于數(shù)列的遞推公式,裂項法求和、極限的知識繼續(xù)能力考查.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

當今世界進入了計算機時代,我們知道計算機裝置有一個數(shù)據(jù)輸入口A和一運算結果輸出口B,某同學編入下列運算程序,將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質:
①從A輸入1時,從B得到
1
3
;
②從A輸入整數(shù)n(n≥2)時,在B得到的結果f(n)是將前一結果f(n-1)先乘以奇數(shù)2n-3,再除以奇數(shù)2n+1.
(1)求f(2),f(3),f(4);
(2)試由(1)推測f(n)的表達式,并用數(shù)學歸納法證明;
(3)求
lim
n→∞
f(1)+f(2)+…+f(n)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:044

當今世界進入了計算機時代,我們知道計算機裝置有一個數(shù)據(jù)輸入口A和一個運算結果的輸出口B,某同學編入下列運算程序,將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質:①從A輸入1時,從B得到.②從A輸入整數(shù)n(n2)時,從B得到的結果f(n)是將前一結果f(n1)先乘以奇數(shù)2n3,再除以奇數(shù)2n1

(1)f(2)f(3),f(4);

(2)試由(1)推測f(n)的表達式,并給出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

當今世界進入了計算機時代,我們知道計算機裝置有一個數(shù)據(jù)輸入口A和一運算結果輸出口B,某同學編入下列運算程序,將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質:

①從A輸入1時,從B得到.

②從A輸入整數(shù)時,在B得到的結果是將前一結果先乘以奇數(shù),再除以奇數(shù).

(1)求,,;

(2)試由(1)推測的表達式,并用數(shù)學歸納法證明;

(3)求.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年湖北省荊州中學高三(上)9月月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

當今世界進入了計算機時代,我們知道計算機裝置有一個數(shù)據(jù)輸入口A和一運算結果輸出口B,某同學編入下列運算程序,將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質:
①從A輸入1時,從B得到;
②從A輸入整數(shù)n(n≥2)時,在B得到的結果f(n)是將前一結果f(n-1)先乘以奇數(shù)2n-3,再除以奇數(shù)2n+1.
(1)求f(2),f(3),f(4);
(2)試由(1)推測f(n)的表達式,并用數(shù)學歸納法證明;
(3)求

查看答案和解析>>

同步練習冊答案