Question

17．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且以長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的面積為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（1，0）作直線l（不與x軸垂直）與該橢圓交于M，N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$，求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出橢圓C的方程，結(jié)合已知和隱含條件列式求出長(zhǎng)半軸和短半軸的長(zhǎng)，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，把$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，代入根與系數(shù)的關(guān)系求得λ+μ的值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\{\frac{1}{2}•2a•2b=6}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a=3，b=1，
故橢圓的方程是：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（9k²+1）x²-18k²x+9k²-9=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{k}^{2}-9}{9{k}^{2}+1}$，
而R（0，-k）．
由$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，有：（x₁，y₁+k）=λ（1-x₁，y₁），故$λ=\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，
由$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$，有：（x₂，y₂+k）=μ（1-x₂，y₂），故$μ=\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$．
∴λ+μ=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{18{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}-\frac{2（9{k}^{2}-9）}{9{k}^{2}+1}}{1-\frac{18{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}+\frac{9{k}^{2}-9}{9{k}^{2}+1}}=\frac{18}{9{k}^{2}+1-18{k}^{2}+9{k}^{2}-9}$=$-\frac{9}{4}$．
故$λ+μ=-\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，把向量共線轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．