Question

已知函數(shù)f（x）=（

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）^x-log₂x，正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足f（a）f（b）f（c）＜0．若實(shí)數(shù)d是方程f（x）=0的一個(gè)解，那么下列四個(gè)判斷：①a＜b＜d＜c；②a＜d＜b＜c；③d＜a＜b＜c；④a＜b＜c＜d中有可能成立的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①③

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由函數(shù)f（x）=（

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）^x-log₂x為減函數(shù)，由已知條件設(shè)0＜a＜b＜c，從而得到f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：f（x）=（

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）^x-log₂x是由y=（

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）^x和y=-log₂x構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，
∵兩個(gè)函數(shù)都是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=（

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）^x-log₂x為減函數(shù)．
∵正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，
∴不妨設(shè)0＜a＜b＜c，
∵f（a）f（b）f（c）＜0
∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0
綜合以上兩種可能，恒有f（c）＜0，
∵實(shí)數(shù)d是方程f（x）=0的一個(gè)解，
∴可能有①a＜b＜d＜c，③d＜a＜b＜c正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的靈活運(yùn)用．