Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a+2）x+2lnx（a∈R）．
（1）若a=0，證明：f（x）＜0；
（2）討論函數(shù)f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入函數(shù)的表達(dá)式，求出f′（x），解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到最大值是f（1）＜0即可；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值，進(jìn)而求出函數(shù)的零點的個數(shù)．

解答 解：（1）a=0時：f（x）=-2x+2lnx，（x＞0），
f′（x）=-2+$\frac{2}{x}$=$\frac{2（1-x）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_最大值=f（1）=-2+2ln1=-2＜0，
∴a=0時，f（x）＜0；
（2）f′（x）=$\frac{2}{x}$+ax-（a+2）=$\frac{（ax-2）（x-1）}{x}$，（x＞0），
①a≤0時，ax-2＜0
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
若a＜-4，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$-2＞0，函數(shù)f（x）有2個零點，
若a=-4，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$-2，=0，函數(shù)f（x）有1個零點，
若-4＜a≤0，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$-2＜0，函數(shù)f（x）沒有零點，
②0＜a＜2時，$\frac{2}{a}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（0，1），（$\frac{2}{a}$，+∞）遞增，在（1，$\frac{2}{a}$）遞減；
∴f（x）_極大值=f（1）=-$\frac{1}{2}$a-2＜0，
∴f（x）有1個零點；
③a≥2時，$\frac{2}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，或0＜x＜$\frac{2}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）遞增，在（$\frac{2}{a}$，1）遞減；
∴f（x）_極大值=f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{2（a+1）}{a}$+2ln$\frac{2}{a}$＜0，
∴f（x）有1個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．