Question

選修4-5：不等式選講
已知a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

Answer 1

分析：（法一）利用柯西不等式（a+b+c）²=（a•1+b•1+c•1）²≤（a²+b²+c²）（1²+1²+1²），即可求解；
（法二）直接利用基本不等式，即可求解．

解答：解：（法一）∵a，b，c∈R，a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²=（a•1+b•1+c•1）²≤（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）=3．   5分
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

3

3

時(shí)，a+b+c取得最大值

3

．7分
（法二）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（b²+c²）+（a²++c²）3分
∵a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

3

3

時(shí)等號(hào)成立，6分
∴a+b+c的最大值為

3

． 7分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用，掌握柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²是關(guān)鍵．