Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B，C是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上不同的三點(diǎn)，A（3

2

，

3 2

2

），B（-3，-3），C在第三象限，線段BC的中點(diǎn)在直線OA上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上（異于點(diǎn)A，B，C）且直線PB，PC分別交直線OA于M，N兩點(diǎn)，證明

OM

•

ON

為定值并求出該定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將A，B坐標(biāo)代入橢圓方程，求出a，b，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C（m，n）（m＜0，n＜0），則BC中點(diǎn)為（

m-3

2

，

n-3

2

），求得直線OA的方程，利用點(diǎn)C在橢圓上，即可求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）求出M，N的縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)C在橢圓上，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．

解答： （1）解：由已知，得

18 a2 + 9 2 b2 =1 9 a2 + 9 b2 =1

，解得

a2=27 b2= 27 2

         …（2分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

27

+

y2

27 2

=1．                           …（3分）
（2）解：設(shè)點(diǎn)C（m，n）（m＜0，n＜0），則BC中點(diǎn)為（

m-3

2

，

n-3

2

）．
由已知，求得直線OA的方程為x-2y=0，從而m=2n-3．①
又∵點(diǎn)C在橢圓上，∴m²+2n²=27．②
由①②，解得n=3（舍），n=-1，從而m=-5．                …（5分）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，-1）．                                  …（6分）
（3）證明：設(shè)P（x₀，y₀），M（2y₁，y₁），N（2y₂，y₂）．
∵P，B，M三點(diǎn)共線，∴

y1+3

2y1+3

=

y0+3

x0+3

，整理，得y₁=

3(y0-x0)

x0-2y0-3

．…（8分）
∵P，C，N三點(diǎn)共線，∴

y2+1

2y2+5

=

y0+1

x0+5

，整理，得y2=

5y0-x0

x0-2y0+3

．…（10分）
∵點(diǎn)C在橢圓上，∴x02+2y02=27，∴x02=27-2y02．
從而y₁y₂=

3(3y02-6x0y0+27)

2y02-4x0y0+18

=3×

3

2

=

9

2

．   …（14分）
∴

OM

•

ON

=5y₁y₂=

45

2

．                                    …（15分）
∴

OM

•

ON

為定值，定值為

45

2

．                                 …（16分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．