Question

定義：若數列{a_n}對任意n∈N^*，滿足

an+2-an+1

an+1-an

=k（k為常數），稱數列{a_n}為等差比數列．
（1）若數列{a_n}前n項和S_n滿足S_n=3（a_n-2），求{a_n}的通項公式，并判斷該數列是否為等差比數列；
（2）若數列{a_n}為等差數列，試判斷{a_n}是否一定為等差比數列，并說明理由；
（3）若數列{a_n}為等差比數列，定義中常數k=2，a₂=3，a₁=1，數列{

2n-1

an+1

}的前n項和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析：（1）根據S_n=3（a_n-2），再寫一式，兩式相減，可得{a_n}的通項公式，根據新定義，驗證

an+2-an+1

an+1-an

=

3

2

(n∈N*)

即可；
（2）利用新定義，結合a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，即可判斷；
（3）確定數列{a_n+1-a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，求出數列的通項，利用錯位相減法求數列的和，即可得證．

解答：（1）解：當n=1時，a₁=S₁=3（a₁-2），則a₁=3，…（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3（a_n-2）-3（a_n-1-2），∴

an

an-1

=

3

2

．…（2分）
∴數列{a_n}是首項為3，公比為

3

2

的等比數列，∴an=3×(

3

2

)n-1(n∈N*)．…（3分）
∵

an+2-an+1

an+1-an

=

3 2 an+1- 3 2 an

an+1-an

=

3

2

(n∈N*)

∴數列{a_n}是等差比數列．…（4分）
（2）解：設等差數列{a_n}的公差為d，則a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=d，
當d≠0時，

an+2-an+1

an+1-an

=

d

d

=1，數列{a_n}是等差比數列；                   …（6分）
當d=0時，數列{a_n}是常數列，數列{a_n}不是等差比數列．…（8分）
（3）證明：由

an+2-an+1

an+1-an

=2，a2-a1=2，知數列{a_n+1-a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列．…（9分）
∴an+1-an=2×2n-1=2n，…（10分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2³+2²+2+1=2ⁿ-1，…（12分）
∴Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，①
①×

1

2

得

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
∴Tn=3-

2n+3

2n

＜3．…（14分）

點評：本題考查新定義，考查數列通項的求解，考查錯位相減法求數列的和，考查不等式的證明，解題的關鍵是對新定義的理解．