Question

在一次考試中，由于不慎，致使一選擇題已知條件被黑色墨水覆蓋，原題為：已知α、β均為銳角，且sinα-sinβ=-

1

2

，

 

，則tan（α-β）的值為

 

A.

7

3

 B.

3

7

 C．-

7

3

 D．-

3

7

其中

 

為覆蓋部分，試根據(jù)所附答案為C，推斷并補(bǔ)出被覆蓋部分．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：逆推：根據(jù)所附答案可得tan（α-β）=-

7

3

，可得sinα-sinβ=sin[（α-β）+β]-sin[α-（α-β）]=-

1

2

，由兩角和與差得正弦展開并整理，又角的范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求cos（α-β）和sin（α-β）的值，代入可解cosα+cosβ=-

3 7

14

，可得答案．

解答： 解：根據(jù)所附答案為C，可得tan（α-β）=-

7

3

，
又sinα-sinβ=-

1

2

，∴sin[（α-β）+β]-sin[α-（α-β）]=-

1

2

，
由兩角和與差得正弦展開并整理可得（sinβ-sinα）cos（α-β）+（cosα+cosβ）sin（α-β）=0，（*）
∵α、β均為銳角，∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

，又tan（α-β）=-

7

3

＜0，∴-

π

2

＜α-β＜0，
∴cos（α-β）=

3

4

，sin（α-β）=-

7

4

，
代入（*）式可得-

1

2

×

3

4

-

7

4

（cosα+cosβ）=0，
解得cosα+cosβ=-

3 7

14

故答案為：cosα+cosβ=-

3 7

14

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)公式，涉及分析法推理，屬中檔題．