精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知矩陣A對應的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90°．
（1）求矩陣A及A的逆矩陣B；
（2）已知矩陣M=
33
24
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
8
1
在矩陣B的作用下變換為β，求M50β（運算結果用指數式表示）．
考點：特征值與特征向量的計算,矩陣變換的性質
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（1）利用待定系數法，求矩陣A及A的逆矩陣B；
（2）利用特征多項式，求特征值，進而可求特征向量；
（3）確定β=
01
1
2
0
8
1
=
1
4
=
14
5
1
1
-
3
5
3
-2
，再求M50β．
解答： 解：（1）矩陣A對應的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，為
10
02
，
將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90°，為A=
02
10
．
設B=
ab
cd
，則
ab
cd
02
10
=
10
01
，即a=0，b=1，c=
1
2
，d=0，
∴B=
01
1
2
0
；
（2）特征多項式f（λ）=
.
λ-33
2λ-4
.
，
令f（λ）=0，解得M的特征值λ1=6，λ2=1，
設
e2
=
x
y
是矩陣M屬于特征值λ2=1的特征向量，
則
33
24
x
y
=
x
y
，∴
3x+3y=x
2x+4y=y
取x=3，得
e2
=
3
-2
，
同理矩陣M屬于特征值λ2=6的特征向量為
1
1
；
（3）β=
01
1
2
0
8
1
=
1
4
=
14
5
1
1
-
3
5
3
-2
，
∴M50β=
14
5
•650
1
1
-
3
5
•
3
-2
．
點評：本題考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算，解題時要注意特征值與特征向量的計算公式的運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且
sinA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
，試判斷△ABC的形狀．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知復數z1=m+（4-m2）i（m∈R），z2=2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ∈R），若z1=z2，求λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，
3
2
），
b
=（cosx，-1）
（1）當
a
∥
b
時，求tanx的值；
（2）求f（x）=
a
•
b
+
b
2的最大值，并寫出函數f（x）取得最大值時自變量x的集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線l經過點A（1，-2）和B（3，4）．
（1）求AB的中點C的坐標；
（2）求直線l的斜率；
（3）求經過點C且垂直于直線l的直線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

在一次考試中，由于不慎，致使一選擇題已知條件被黑色墨水覆蓋，原題為：已知α、β均為銳角，且sinα-sinβ=-
1
2
，
 
，則tan（α-β）的值為
 
A.
7
3
 B.
3
7
 C．-
7
3
 D．-
3
7

其中
 
為覆蓋部分，試根據所附答案為C，推斷并補出被覆蓋部分．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90゜，∠BAD=120゜，AD=AB=a，若PA=λa（λ＞0）．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）當λ為何值時，點A在平面PBD內的射影G恰好是△PBD的重心？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（Ⅰ）證明f（x）在[-1，1]上是增函數；
（Ⅱ）解不等式f（x2-1）+f（3-3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t2-2at+1對?x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

計算∫
 
3
0
（2x-ex）dx=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案