Question

已知f（x）=x²-ax+0.5a（a＞0）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將a分區(qū)間進(jìn)行討論，表示出g（a）的表達(dá)式，中由表達(dá)式和a的范圍求出g（a）的最大值．

解答： 解：∵f（x）=x²-ax+0.5a，
∴對(duì)稱軸x=-

-a

2

=

a

2

，
①當(dāng)0＜

a

2

≤1，即0＜a≤2時(shí)，
g（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

+

a

2

，
②當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，x∈[0，1]
f′（x）=2（x-a）＜0，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（a）=f（1）=1-0.5a，
∴g（a）=

- a2 4 + a 2          (0＜a≤2) 1-0.5a            (a＞2)

，
∴當(dāng)a＞2時(shí)，g（a）＜0，
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，g（a）=-

1

4

（a-1）²+

1

4

，
當(dāng)a=1時(shí)，g（a）_最大=g（1）=

1

4

．
∴g（a）的最大值是：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)問題，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．