Question

對(duì)于任意的x∈R，不等式sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立，則m的取值范圍是（　�。�

• A．m≤-

  3

  2

• B．0＜m≤1
• C．0＜m≤3
• D．m≤-

  3

  2

  或0＜m≤3

Answer 1

分析：sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立?(sinx+

m

2

)2≤

m2

4

-m+

3

m

恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=(sinx+

m

2

)2，通過對(duì)m分類討論，

m2

4

-m+

3

m

≥g（x）_max即可求得答案．

解答：解：∵sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立?(sinx+

m

2

)2≤

m2

4

-m+

3

m

恒成立，
令g（x）=(sinx+

m

2

)2，
則

m2

4

-m+

3

m

≥g（x）_max；
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）_max=(1+

m

2

)2=1+m+

m2

4

，
∴

m2

4

-m+

3

m

≥1+m+

m2

4

，
∴2m-

3

m

+1≤0?2m²+m-3≤0，
解得：-

3

2

≤m≤1，又m＞0，
∴0＜m≤1；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）_max=(-1+

m

2

)2=1-m+

m2

4

，
∴

m2

4

-m+

3

m

≥1-m+

m2

4

，
∴

3

m

≥1，這不可能．
綜上所述，0＜m≤1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，突出考查構(gòu)造函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．