Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：對(duì)于任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1時(shí)f（x）取極小值-．
（1）f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)處的切線不可能互相垂直：

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函數(shù)中不含偶次項(xiàng)，得到b=d=0；求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1的值為0，令函數(shù)在x=1的值為，列出方程組，求出a，c求出解析式．
（2）設(shè)出任意兩個(gè)點(diǎn)，求出該兩個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即兩條切線的斜率，求出它們的積的范圍，得到不可能為-1．
解答：解：解：（1）因?yàn)椋?x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：，得 ，解之得：，c=-1從而，
函數(shù)解析式為：
（2）由于，f'（x）=x²-1，
設(shè)任意兩數(shù)x₁，x₂∈[-1，1]是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
則這兩點(diǎn)的切線的斜率分別是：k₁=f'（x₁）=x₁²-1，k₂=f'（x₂）=x₂²-1
又因?yàn)椋?1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠-1
故當(dāng)x∈[-1，1]是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)的切線不可能垂直
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．