Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿(mǎn)足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，向量$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$．
（1）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角θ的余弦值；
（2）在（1）的條件下，求$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$時(shí)實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）將等式平方展開(kāi)，求出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角；
（2）在（1）的條件下，由$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$得到數(shù)量積為0，展開(kāi)得到關(guān)于k的等式解之．

解答 解：（1）由已知得到|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=4即${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=4$，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，所以向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角θ的余弦值為：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$時(shí)，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，所以（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）=${6\overrightarrow{a}}^{2}-2k{\overrightarrow}^{2}+3k\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$．即24-2k+$\frac{3}{2}k$-2=0，解得k=44．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用向量的數(shù)量積公式求夾角以及向量垂直的性質(zhì)的運(yùn)用；比較基礎(chǔ)．