Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且滿足a_n+1＜a_n，a₁+a₂+a₃=

13

9

，a₁a₂a₃=

1

27

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{（2n-1）•a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意聯(lián)立方程組解得首項(xiàng)和公比即得通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答： 解：（1）由a₁a₂a₃=

1

27

，及等比數(shù)列性質(zhì)得

a

3 2

=

1

27

，即a₂=

1

3

  ①…（2分）
由a₁+a₂+a₃=

13

9

得a₁+a₂=

10

9

 ②，…（3分）
由①②得

a1q= 1 3 a1+a1q2= 10 9

，
∴

1+q2

q

=

10

3

，即3q²-10q+3=0，
解的q=3，或q=

1

3

…（5分）
由a_n+1＜a_n得{a_n}是遞減函數(shù)，故q=3舍去，…（6分）
∴q=

1

3

，又由a₂=

1

3

，得a₁=1，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

1

3n-1

（n∈N^*）…（7分）
（2）由（1）知（2n-1）•a_n=

2n-1

3n-1

，
∴T_n=1+

3

3

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

  …（8分）

1

3

T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

…（9分）
兩式作差得

2

3

T_n=1+

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

，…（10分）
=1+2•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-

1

3n-1

-

2n-1

3n

…（13分）
∴T_n=3-

n+1

3n-1

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及方程思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．