Question

已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)C_n=

log2( bn 3 )，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和P_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1-2b_n-1+3=0，兩式相減，得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，利用分組求和的方法求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和P_2n+1．

解答： 解：（Ⅰ）∵T_n-2b_n+3=0，∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1-2b_n-1+3=0，兩式相減，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，∴bn=3•2n-1．                        …（6分）
（Ⅱ）cn=

n -1，     n為奇數(shù) 3•2n-1 ， n為偶數(shù)

．      
令a_n=n-1，…（8分）
故P_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）=

(0+2n)•(n+1)

2

+

6(1-4n)

1-4

…（12分）
=2²ⁿ⁺¹+n²+n-2…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，確定數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵．