計算:
(1)已知sin(π-α)-cos(π+α)=
2
3
(
π
2
<α<π)
,求sinα-cosα的值.
(2)求函數(shù)y=cos2x-2sinx+3的最大值及相應(yīng)x的集合.
分析:(1)利用誘導(dǎo)公式可將sin(π-α)-cos(π+α)=
2
3
π
2
<α<π)轉(zhuǎn)化為sinα+cosα=
2
3
,可得sin(α+
π
4
)=
1
3
,從而可求cos(α+
π
4
),于是進一步可得sinα-cosα的值;
(2)將y=cos2x-2sinx+3轉(zhuǎn)化為:y=5-(sinx+1)2,可求得其最大值及相應(yīng)x的集合.
解答:解:(1)∵sin(π-α)-cos(π+α)=
2
3
π
2
<α<π),
∴sinα+cosα=
2
3
π
2
<α<π),
∴sin(α+
π
4
)=
1
3
,又
π
2
<α<π,
4
<α+
π
4
4
,
∴cos(α+
π
4
)=-
2
2
3
,
∴sinα-cosα=-
2
cos(α+
π
4
)=-
2
×(-
2
2
3
)=
4
3
;
(2)∵y=cos2x-2sinx+3
=5-(sinx+1)2,
∴當sinx=-1,即x=2kπ-
π
2
(k∈Z)時,
ymax=5,
∴函數(shù)y=cos2x-2sinx+3取到最大值5時,x的集合為{x|x=x=2kπ-
π
2
(k∈Z)}.
點評:本題考查運用誘導(dǎo)公式化簡求值,考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,掌握三角公式與正弦函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的基礎(chǔ),屬于中檔題.
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1
2
,cosα-cosβ=-
1
3
,求cos(α-β)的值;
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2
3
,sin(α-β)=-
1
5
,求
tanα
tanβ
的值.

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(1)已知數(shù)學公式,求sinα-cosα的值.
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