Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分別是CC₁、C₁D₁、D₁D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH上或其內(nèi)部運動，且使MN⊥AC．對于下列命題：
①點M可以與點H重合；
②點M可以與點F重合；
③點M可以在線段FH上；
④點M可以與點E重合．
其中正確命題的序號是

 

（把你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：由題意知HN⊥AC，F(xiàn)N⊥AC，故M在FH上時，均能滿足要求，若M為FH上異于F，H的任意一點，則HN是斜線MN在底面ABCD上的射影，從而MN⊥AC，由題意知當M為H或F時，MN⊥AC，由NE∥BC₁，且BC₁與AC不垂直，知點M不能與點E重合．

解答： 解：由題意知HN⊥AC，F(xiàn)N⊥AC，
猜想：M在FH上時，均能滿足要求，
事實上，若M為FH上異于F，H的任意一點，
∵FH⊥底面ABCD，∴HN是斜線MN在底面ABCD上的射影，而HN⊥AC，
∴MN⊥AC，由題意知當M為H或F時，MN⊥AC，
∴①點M可以與點H重合，正確；
②點M可以與點F重合，正確；
③點M可以在線段FH上，正確．
∵NE∥BC₁，且BC₁與AC不垂直，
∴點M不能與點E重合，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．