Question

7．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=a（a＞2），且a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$（n∈N^*）．
（1）用數(shù)學歸納法證明：a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求證a_n+1＜a_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)學歸納法，注意步驟的完整性，當n=1時，檢驗成立，假設當n=k（k∈N^*），命題成立；證明當n=k+1也成立，注意運用假設；
（2）作差比較，即為a_n+1-a_n，化簡整理，結合（1）的結論，即可得證．

解答 證明：（1）①當n=1時，a₁=a＞2，命題成立．
②假設當n=k（k∈N^*），命題成立，即a_k＞2．
則當n=k+1時，a_k+1-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$-2=$\frac{（{a}_{k}-2）^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$＞0，
所以當n=k+1時a_k+1＞2也成立，
由①②得，對任意自然數(shù)n，都有a_n＞2．
（2）a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$-a_n=$\frac{{a}_{n}（2-{a}_{n}）}{2（{a}_{n}-1）}$，
由（1）可知a_n＞2＞0，
即有a_n+1-a_n＜0，
即a_n+1＜a_n（n∈N^*）．

點評 本題考查不等式的證明，考查數(shù)學歸納法的運用和作差比較法的運用，屬于中檔題．