如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2．求證：AD⊥BC．
分析：設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AD
=
e
，
DB
=
c
，
DC
=
d
，將
a
=
e
+
c
、
b
=
e
+
d
代入
a
2-
b
2的式子，化簡整理
a
2-
b
2=
c
2+2
e
•
c
-2
e
•
d
-
d
2，結(jié)合題意
a
2-
b
2=
c
2-
d
2化簡，可得
e
•（
c
-
d
）=0，再結(jié)合向量的加減法法則得到
AD
•
BC
=0，由此結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)即可得到AD⊥BC．
解答：解：設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AD
=
e
，
DB
=
c
，
DC
=
d
，
則
a
=
e
+
c
，
b
=
e
+
d
．
∴
a
2-
b
2=（
e
+
c
）2-（
e
+
d
）2
=
c
2+2
e
•
c
-2
e
•
d
-
d
2．
∵由已知AB2-AC2=DB2-DC2，得
a
2-
b
2=
c
2-
d
2，
∴
c
2+2
e
•
c
-2
e
•
d
-
d
2=
c
2-
d
2，即
e
•（
c
-
d
）=0．
∵
BC
=
BD
+
DC
=
d
-
c
，∴
AD
•
BC
=
e
•（
d
-
c
）=0，
因此，可得
AD
⊥
BC
，即AD⊥BC．
點評：本題給出三角形ABC內(nèi)滿足平方關(guān)系的點D，求證AD⊥BC．著重考查了平面向量的加減法則、向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）的定義域為[-2，+∞），部分對應(yīng)值如下表，
 x -2    0 4
f（x）   1 -1 1
f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示：若兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則
b+3
a+3
的取值范圍是（　�。�
A、(
6
7
，
4
3
)
B、(
3
5
，
7
3
)
C、(
2
3
，
6
5
)
D、（-
1
3
，3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1．f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則
b+2
a+2
的取值范圍是（　　）
A、(
1
3
，
1
2
)
B、(-∞，
1
2
)∪(3，+∞)
C、(
1
2
，3)
D、（-∞，-3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f（-4）=-1，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿足f（a+2b）＜1，則
a+2
b+2
的取值范圍是（　�。�
A、(
1
3
，2)
B、(
1
2
，3)
C、（-1，10）
D、（-∞，-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）的定義域為[-2，+∞），部分對應(yīng)值如下表，
x -2 0 4
f（x） 1 -1 1
f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示，若兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則
b+3
a+3
的取值范圍是（　�。�
A、(
3
5
，
7
3
)
B、(
3
2
，
7
3
)
C、(
3
7
，
3
5
)
D、(
2
3
，
3
7
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f（-4）=-2，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，若兩正數(shù)a，b滿足f（a+2b）＜2，則
a+4
b+4
的取值范圍是（　　）

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