Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，以AB為直徑的⊙O上有一點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線與AB延長線交于點(diǎn)P，AD⊥PC交PC的延長線于D，AD與⊙O相交于點(diǎn)E．
（1）求證：PB：PC=DC：AD；
（2）若AB=6，BC=3，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)PC與圓O相切于C點(diǎn)證得△APC∽△CPB，推出PB：PC=BC：AC；再結(jié)合∠ACB=90°以及AD⊥PC于D得到Rt△ACD∽Rt△ABC，進(jìn)而得DC：AD=BC：AC，聯(lián)立即可證明結(jié)論．
（2）先在△ABC中求出AC，再根據(jù)△ACD∽△ABC求出DC以及AD，再結(jié)合切割線定理即可求出結(jié)論．

解答：（1）證明：
∵PC與圓O相切于C點(diǎn)，
∴∠CAB=∠PCB
∴△APC∽△CPB．
∴PB：PC=BC：AC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠DCA=90°，
∵AD⊥PC于D
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠CAB．
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴DC：AD=BC：AC．
∴PB：PC=DC：AD．
（2）解：在△ABC中，AB=6，BC=3，
∴AC=3

3

．
由△ACD∽△ABC，以及AD⊥PC于D
∴DC=

3 3

2

，AD=

9

2

．
又由切割線定理得：DC²=AD•DE．
即

27

4

=

9

2

×（

9

2

-AE）
∴AE=3．

點(diǎn)評：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．是對基礎(chǔ)知識的綜合考查．