Question

某家具廠有方木料90m³，五合板600m²，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m³，五合板2m²，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m²，五合板1m²，出售一張方桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元．
（1）如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？
（2）如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？
（3）怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？

Answer 1

分析：這是一個實際生活中的最優(yōu)化問題，可根據(jù)條件列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，畫出可行域求解．
（1）由于只安排生產(chǎn)書桌，則根據(jù)已知條件，易得生產(chǎn)書桌的最大量，進(jìn)一步得到利潤．
（2）由于只安排生產(chǎn)書櫥，則根據(jù)已知條件，易得生產(chǎn)書櫥的最大量，進(jìn)一步得到利潤．
（3）可設(shè)出生產(chǎn)書桌和書櫥的件數(shù)，列出目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)材料限制列出約束條件，畫出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃的處理方法，即可求解．

解答：解：由題意可畫表格如下：

（1）設(shè)只生產(chǎn)書桌x個，可獲得利潤z元，
則

0.1x≤90 2x≤600 z=80x

?

x≤900 x≤300

?x≤300．
所以當(dāng)x=300時，z_max=80×300=24000（元），即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元．
（2）設(shè)只生產(chǎn)書櫥y個，可獲利潤z元，則

0.2y≤90 1•y≤600 z=120y

?

y≤450 y≤600

?y≤450．
所以當(dāng)y=450時，z_max=120×450=54000（元），即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個書櫥，獲得利潤54000元．
（3）設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．
則

0.1x+0.2y≤90 2x+y≤600 x≥0 y≥0

?

x+2y≤900 2x+y≤600 x≥0 y≥0

z=80x+120y．
在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．
作直線l：80x+120y=0，
即直線l：2x+3y=0．
把直線l向右上方平移至l₁的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，此時z=80x+120y取得最大值．
由

x+2y=900 2x+y=600

解得點M的坐標(biāo)為（100，400）．
所以當(dāng)x=100，y=400時，z_max=80×100+120×400=56000（元）．
因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大．

點評：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．