Question

14．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2asinB=$\sqrt{3}$b．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用正弦定理可得2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，結(jié)合sinB＞0，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合△ABC為銳角三角形，即可求A的值．
（Ⅱ）設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a．b．c．由余弦定理得4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc，又b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，可求bc≤4，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分10分）
解：（Ⅰ）∵2asinB=$\sqrt{3}$b，
∴2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB＞0，∴2sinA=$\sqrt{3}$，
故sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A=60°．（4分）
（Ⅱ）設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a．b．c．
由題意知a=2，
由余弦定理得4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc，
又b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc≤\frac{\sqrt{3}}{4}×4=\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時取等號，
所以△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．                    （10分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．