Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x-m在區(qū)間（-1，1）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：法1：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
法2：將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題即可．

解答： 解：解法一：①當(dāng)函數(shù)f（x）=x²-x-m在區(qū)間（-1，1）上只有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，△=0或

△＞0 f(-1)•f(1)＜0

或

△＞0 f(1)=0

，
解得m=-

1

4

或0＜m＜2或m=0；
②當(dāng)函數(shù)f（x）=x²-x-m在區(qū)間（-1，1）上有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

△＞0 f(-1)＞0 f(1)＞0

，解得-

1

4

＜m＜0；
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-

1

4

，2)．
法二：函數(shù)f（x）=x²-x+5-m在區(qū)間（-1，1）上有零點(diǎn)
?方程x²-x-m=0在區(qū)間（-1，1）上有解
?方程x²-x=m在區(qū)間（-1，1）上有解
?函數(shù)y=x²-x與函數(shù)y=m在區(qū)間（-1，1）上有交點(diǎn)
∵函數(shù)y=x²-x在區(qū)間（-1，1）上的值域?yàn)?span id="0kuoeoc" class="MathJye">[-

1

4

，2)
∴-

1

4

≤m＜2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-

1

4

，2)．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次函數(shù)的零點(diǎn)的問題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，以及函數(shù)和方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．