Question

（2010•福建模擬）已知中心的坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C過(guò)點(diǎn)Q(2，

3

3

)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F₁
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過(guò)橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是

10

3

”．命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線E，過(guò)該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的交點(diǎn)M，AB的長(zhǎng)度與F、M兩點(diǎn)間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．

Answer 1

分析：（法一）（I）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（2，0）可得C的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（-2，0），由雙曲線的定義可求2a，由c=2，結(jié)合b²=c²-a²可求b，從而可求雙曲線方程
（II）關(guān)于拋物線C的類似命題為：過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交雙曲線于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則

|AB|

|MF1|

為定值，定值是2
證明：由于直線與x軸不垂直，可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程

y2=4x y=k(x-1)

可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

，可求線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，及AB的垂直平分線MP的方程，及M，從而可求MF₁，而|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，代入可求AB，即可
（III）過(guò)圓錐曲線E的焦點(diǎn)F作與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則

|AB|

|MF|

為定值，定值是

2

e

（其中e 是圓錐曲線E的離心率）
（法二）（I）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知可得

4 a2 - 1 3 b2 =1 a2+b2=1

，解方程可求a，b，進(jìn)而可求方程
（ II）（III）同法一

解答：解：（I）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵點(diǎn)Q(2，

3

3

)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F₁
∴雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（2，0）可得C的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（-2，0）（1分）
由2a=||QF₁|-|QF₂||=|

(2+2)2+( 3 3 -0) 2

-

(2-2)2+( 3 3 -0)2

|=2

3

（3分）
∴a=

3

，又c=2，所以b²=c²-a²=1（4分）
雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1
（II）關(guān)于拋物線C的類似命題為：過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交拋物線于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則

|AB|

|MF1|

為定值，定值是2（6分）
證明如下：由于直線與x軸不垂直，可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1）（k≠0）
聯(lián)立方程

y2=4x y=k(x-1)

可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由題意L與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，則k²≠0，△＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

∴線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)(

k2+2

k2

，

2

k

)（8分）
AB的垂直平分線MP的方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

k2+2

k2

)
令y=0可得，x=3+

2

k2

即M（3+

2

k2

，0），F(xiàn)₁（1，0）
∴|MF₁|=2+

2

k2

（9分）
∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 4(k2+2)2 k4 -4]

=

4

k2

 +4
∴

|AB|

|MF1|

=2（10分）
（III）過(guò)圓錐曲線E的焦點(diǎn)F作與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則

|AB|

|MF|

為定值，定值是

2

e

（其中e 是圓錐曲線E的離心率）（13分）
（法二）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（1分）
由已知可得

4 a2 - 1 3 b2 =1 a2+b2=1

（3分）
解可得，

a2=3 b2=1

∴雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1（4分）
（II ），（III）同法一

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及弦長(zhǎng)公式的求解，解答本題還要求考試具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力