Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xln（ax）（a＞0）
（Ⅰ）設(shè)F（x）=

1

2

（lna）x²+f′（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）過(guò)兩點(diǎn)A（x₁，f′（x₁）），B（x₂，f′（x₂））（x₁＜x₂）的直線(xiàn)的斜率為k，求證：0＜k＜

1

x1

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′（x）=ln（ax）+1，可得F（x）=

1

2

(lna)x2+ln(ax)+1，（x＞0）．F′（x）=xlna+

1

x

=

x2lna+1

x

．對(duì)lna分類(lèi)討論即可得出單調(diào)性．
（II）k=

f′(x2)-f′(x1)

x2-x1

=

ln(ax2)-ln(ax1)

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

，要證明

1

x2

＜k＜

1

x1

，由于x₂-x₁＞0，只要證明

x2-x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2-x1

x1

即可，令t=

x2

x1

＞1，只要證明1-

1

t

＜lnt＜t-1即可．分別構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明．

解答： （I）解：f′（x）=ln（ax）+1，
∴F（x）=

1

2

(lna)x2+ln(ax)+1，（x＞0）．
F′（x）=xlna+

1

x

=

x2lna+1

x

．
①當(dāng)lna≥0即a≥1時(shí)，恒有F′（x）≥0，∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②令lna＜0即0＜a＜1時(shí)，令F′（x）＞0，即x²lna+1＞0，解得0＜x＜

- 1 lna

；
令F′（x）＜0，即x²lna+1＜0，解得x＞

- 1 lna

．
綜上可得：當(dāng)a≥1時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)F（x）在(0，

- 1 lna

)上單調(diào)遞增；在(

- 1 lna

，+∞)單調(diào)遞減．
（II）證明：k=

f′(x2)-f′(x1)

x2-x1

=

ln(ax2)-ln(ax1)

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

，
要證明

1

x2

＜k＜

1

x1

，∵x₂-x₁＞0，只要證明

x2-x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2-x1

x1

即可，
令t=

x2

x1

＞1，只要證明1-

1

t

＜lnt＜t-1即可．
①設(shè)g（t）=t-1-lnt，則g′(t)=1-

1

t

＞0（t＞1），
∴g（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t＞1時(shí)，g（t）＞g（1）=0，
∴t-1＞lnt成立．
②要證明1-

1

t

＜lnt，
∵t＞1，∴只要證明t-1＜tlnt即可，
令h（t）=tlnt-（t-1），則h′（t）=lnt+1-1=lnt＞0（t＞1），
∴h（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t＞1時(shí)，h（t）＞h（1）=0，
∴t-1＜tlnt．
綜上①②可得：

1

x2

＜k＜

1

x1

成立．即0＜k＜

1

x1

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．