Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex，x≤0 lnx，x＞0

，若對(duì)任意給定的a∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足 f（f（x））=ma+2m²a²，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系時(shí)，即只有當(dāng)f（x）＞1時(shí)，才會(huì)存在一一對(duì)應(yīng)．然后利用一元二次不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)f（x）的函數(shù)，我們易得出其值域?yàn)椋篟，
又∵f（x）=e^x，（x≤0）時(shí)，值域?yàn)椋?，1]；
f（x）=lnx，（x＞0）時(shí)，其值域?yàn)镽，
∴可以看出f（x）的值域?yàn)椋?，1]上有兩個(gè)解，
要想f（f（x））=ma+2m²a²，在a∈[1，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，
必有f（f（x））＞1 （因?yàn)閙a+2m²a²＞0），
所以：f（x）＞e，即lnx＞e，
解得：x＞e^e，
當(dāng) x＞e^e時(shí)，x與f（f（x））存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，
∴ma+2m²a²＞1，a∈[1，+∞），且m＞0，
把m當(dāng)作主變量，
則不等式等價(jià)為2m²a²+ma-1＞0，
即（ma+1）（2ma-1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等價(jià)為2ma-1＞0，
即m＞

1

2a

，
∵a≥1，
∴

1

2a

≤

1

2

，
則m＞

1

2

，
故正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，難度較大．