Question

19．在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}$（α為參數）
（Ⅰ）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，判斷點P與直線l的位置關系；
（Ⅱ）設點Q為曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把點的極坐標轉化成直角坐標，進一步利用點和方程的關系求出結果．
（Ⅱ）進一步利用點到直線的距離，利用三角函數關系式的恒等變換，把函數關系式變形成余弦型函數，進一步求出最值．

解答 解：（Ⅰ）把極坐標系下的點$P（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$化為直角坐標，得P（-2，2）．…（1分）
因為點P的直角坐標（-2，2）滿足直線l的方程x-y+4=0，
所以點P在直線l上．…（3分）
（II）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，…（4分）
從而點Q到直線l的距離為$d=\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2cos（α+\frac{π}{6}）+4}{\sqrt{2}}$
=$\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{6}）+2\sqrt{2}$，…（6分）
由此得，當$cos（α+\frac{π}{6}）=-1$時，d取得最小值$\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題考查的知識要點：極坐標和直角坐標的互化，點到直線的距離的公式的應用，三角函數的最值問題．