Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax，g（x）=ax+2（a＞0），對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），則實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件知g（x）的值域是函數(shù)f（x）的值域的子集，而a＞0，所以g（x）的值域可求出為[-a+2，2a+2]．所以需求f（x）的值域，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²是二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=a，從而分這樣幾種情況討論a并求出每種情況下的f（x）的值域：①0＜a＜

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，②

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2

≤a＜2，③a≥2，對(duì)于情況①容易求出f（x）的值域?yàn)閇-a²，4-4a]，根據(jù)g（x）的值域是f（x）的值域的子集即可得到

-a2≤-a+2 4-4a≥2a+2

，解該不等式即得a的取值范圍，同樣的方法求出情況②③下的a的取值范圍，這三種情況求并集即可．

解答： 解：由已知條件可知函數(shù)g（x）的值域是f（x）值域的子集；
∵a＞0，∴g（x）在[-1，2]上的值域?yàn)閇g（-1），g（2）]=[-a+2，2a+2]；
函數(shù)f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²的對(duì)稱軸是x=a，又∵a＞0；
∴①0＜a＜

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時(shí)，f(x)min=f(a)=-a2，f（x）_max=f（2）=4-4a；
∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇-a²，4-4a]，則：

-a2≤-a+2 4-4a≥2a+2

，解得a≤

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3

，∴0＜a≤

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；
②

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≤a＜2時(shí)，f(x)min=-a2，f(x)max=f(-1)=1+2a；
∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇-a²，1+2a]，則：

-a2≤-a+2 1+2a≥2a+2

，該不等式組無解；
③a≥2時(shí)，f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞減；
∴f（x）的值域?yàn)閇f（2），f（-1）]=[4-4a，1+2a]，同②此時(shí)的a不存在；
綜上得a的取值范圍是(0，

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]．

點(diǎn)評(píng)：考查子集的概念，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求值域，二次函數(shù)的對(duì)稱軸及二次函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)值域的求法．