已知曲線C上的任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線m：x=-4的距離小3．
（1）求曲線C的方程；
（2）在曲線C上是否存在一點(diǎn)M，它到點(diǎn)F（1，0）與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最��？若存在，請(qǐng)求出最小值及M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）由題意可得，點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，從而可求
（2）過(guò)M作MF垂直于準(zhǔn)線l：x=-1．垂足為點(diǎn)P，由拋物線的定義可知MP=MF，從而有MA+MF=MA+MF，過(guò)點(diǎn)A作垂足于準(zhǔn)線的直線與拋物線相交的點(diǎn)記為M時(shí)，所求的線段和最小
解答：解：（1）由題意可得，點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等
由拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
拋物線的方程為：y2=4x
（2）過(guò)M作MF垂直于準(zhǔn)線l：x=-1．垂足為點(diǎn)P，由拋物線的定義可知MP=MF
所以MA+MF=MA+MF，過(guò)點(diǎn)A作垂足于準(zhǔn)線的直線與拋物線相交的點(diǎn)記為M時(shí)，
所求的線段和最小，此時(shí)MA+MF=4，M（1，2）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的定義的靈活應(yīng)用，解答（1）的關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等（2）的關(guān)鍵是要利用定義：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•濱州一模）已知曲線C：xy=1，過(guò)C上一點(diǎn)An（xn，yn）作一斜率為kn=
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點(diǎn)An+1（xn+1，yn+1），點(diǎn)列{An}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}，其中x1=
11
7
．
（I）求xn與xn+1的關(guān)系式；
（II）令bn=
1
xn-2
+
1
3
，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（III）若cn=3n-λbn（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•松江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（1，0），求
OA
•
OB
的值；
（3）若
OA
•
OB
=-4，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)F（0，1）且與x軸相切，點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱點(diǎn)為F′，動(dòng)點(diǎn)F′的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x0，y0）是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線C相交于另外兩點(diǎn)P、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P、Q兩點(diǎn)之間的那一段為l．若點(diǎn)B在l上，且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1(-
3
，0)、F2(
3
，0)的距離之和是4，且曲線C的一條切線交x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，則△AOB的面積的最小值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（1，0），求數(shù)學(xué)公式的值；
（3）若數(shù)學(xué)公式，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

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