Question

14．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=30°，a=3，b=3$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求B和△ABC的面積；
（Ⅱ）當(dāng)B是鈍角時(shí)，證明：tan（B-118°）不可能是有理數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理可求sinB，由B是三角形內(nèi)角且B＞A，則B=60°或B=120°，利用三角形面積公式分情況求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論得tan（B-118°）=tan2°，假設(shè)tan2°是有理數(shù)，可證tan4°=$\frac{2tan2°}{1-ta{n}^{2}2°}$為有理數(shù)，tan32°為有理數(shù)，由tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{tan32°-tan2°}{1+tan32°tan2°}$，等式左邊為無(wú)理數(shù)，等式右邊為有理數(shù)，退出矛盾，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，即sinB=$\frac{3\sqrt{3}sin30°}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（2分）
因?yàn)锽是三角形內(nèi)角且B＞A，則B=60°或B=120°．…（4分）
記△ABC的面積為S．
當(dāng)B=60°時(shí)，C=90°，S=$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$．…（5分）
當(dāng)B=120°時(shí)，C=30°，S=$\frac{1}{2}absin30°=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)锽是鈍角，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論得tan（B-118°）=tan2°
假設(shè)tan2°是有理數(shù)，…（8分）
則tan4°=$\frac{2tan2°}{1-ta{n}^{2}2°}$為有理數(shù)；
同理可證tan8°，tan16°，tan32°為有理數(shù)． …（10分）
tan30°=$\frac{tan32°-tan2°}{1+tan32°tan2°}$，等式左邊=$\frac{\sqrt{3}}{3}$為無(wú)理數(shù)，等式右邊為有理數(shù)，從而矛盾，則tan2°不可能是有理數(shù)，即tan（B-118°）不可能是有理數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，兩角和的正切函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了反證法，屬于基本知識(shí)的考查．