如圖,已知PA⊥平面ABC,且數(shù)學公式,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面ADE;
(2)求點D到平面ABC的距離.

(1)證明:因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,
又AB⊥BC,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,
因為AD?平面PAB,所以BC⊥AD.…(3分)
又AD⊥PB,BC∩PB=B,所以AD⊥平面PBC,
因為PC?平面PBC,所以PC⊥AD,
又PC⊥AE,AD∩AE=A,所以PC⊥平面ADE.…(6分)
(2)解:過D點作DF⊥BA垂直為E,

由題意知DF⊥面ABC,即DF為所求距離.…(8分)
由題設(shè)得DF∥PA,所以△BDE∽△BAP,即DF=,
又∵△BDA∽△BAP,∴
即BD=,∴
∴DF=.…(11分)
即點D到平面ABC的距離為.…(12分)
分析:(1)利用線面垂直的性質(zhì)與判定,證明PC⊥平面ADE,證出PC⊥AD,PC⊥AE即可;
(2)過D點作DF⊥BA垂直為E,由題意知DF⊥面ABC,即DF為所求距離,利用三角形的相似,可得結(jié)論.
點評:本題考查線面垂直的性質(zhì)與判定,考查點到面的距離,掌握線面垂直的性質(zhì)與判定,作出點到面的距離的線段是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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2
,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面ADE;
(2)求點D到平面ABC的距離.

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2
,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面ADE;
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(1)求PD與平面PAC所成的角的大。
(2)求△PDB繞直線PA旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

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