Question

已知函數(shù)f（x）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，g（x）=

1

2

f′（x）．
（I）證明：當t＜2

2

時，g（x）在R上是增函數(shù)；
（II）對于給定的閉區(qū)間[a，b]，試說明存在實數(shù)k，當t＞k時，g（x）在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)；
（III）證明：f(x)≥

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由已知解出g（x）的值，進而得到g′（x）的值，接下來采用分析證明法來分析，若證g（x）為R上的增函數(shù)，只需證2e^2x-te^x+1＞0，即證t＜2e^x+e^-x，又因為2e^x+e^-x≥2

2

，且t＜2

2

，所以即證，再利用綜合證明的方法寫出來即可．
（2）若證明g（x）在[a，b]上的減函數(shù)，只需證明g′（x）＜0，即2e^2x-te^x+1＜0，t＞2e^x+e^-x，因為y=2e^x+e^-x在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，故有最大值，令這個最大值為實數(shù)k即可．
（3）已知f（x）含有t，可以把f（x）轉(zhuǎn)換成關(guān)于t的一元二次函數(shù)F（t））=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，通過配方，易得F（t）≥

1

2

（e^x-x）²+1，再令H（x）=e^x-x，通過求解H（x）的單調(diào)性和最值，可以得到H（x）的最小值為1．就可以得出f（t）≥

3

2

，即證．

解答：解：
（I）證明：由題設(shè)易得g（x）=e^2x-t（e^x-1）+x，g'（x）=2e^2x-te^x+1．又由2ex+e-x≥2

2

，且t＜2

2

得t＜2e^x+e^-x，
te^x＜2e^2x+1，即g'（x）=2e^2x-te^x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函數(shù)．
（II）因為g'（x）＜0是g（x）為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得t＞k時g'（x）=2e^2x-te^x+1＜0，即t＞2e^x+e^-x在閉區(qū)間[a，b]上成立即可．因為y=2e^x+e^-x在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，故在閉區(qū)間[a，b]上有最大值，設(shè)其為k，于是在t＞k時，g'（x）＜0在閉區(qū)間[a，b]上恒成立，即g（x）在閉區(qū)間[a，b]上為減函數(shù)．
（III）設(shè)F（t）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，即F(t)=2(t-

ex+x

2

)2+

1

2

(ex-x)2+1，
易得F(t)≥

1

2

(ex-x)2+1．令H（x）=e^x-x，則H'（x）=e^x-1，易知H'（0）=0．當x＞0時，H'（0）＞0；當x＜0時，H'（0）＜0．故當x=0時，H（x）取最小值，H（0）=1．所以

1

2

(ex-x)2+1≥

3

2

，
于是對任意的x，t，都有F(t)≥

3

2

，即f(x)≥

3

2

．

點評：本小題主要考查二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．