Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作（x）=m，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=log

1

2

|x-{x}|的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇1，+∞）；
②函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，0）上是增函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù) 值域；易判斷函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，0）上的單調(diào)性，判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；根據(jù)f（k-x）與f（-x）的關(guān)系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱；而由④的結(jié)論．

解答： 解：由題意令g（x）=x-{x}=x-m，
g（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時(shí)，-

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2

＜x≤

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2

，g（x）=|x|，

m=1時(shí)，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，g（x）=|x-1|，
m=2時(shí)，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，g（x）=|x-2|，
由圖象可知0≤g(x)≤

1

2

，
所以①不正確；
當(dāng)x∈（-

1

2

，0），g（x）是減函數(shù)，所以f（x）=log

1

2

|x-{x}|是增函數(shù)；故②正確；
由圖可知③④正確；
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，對(duì)4個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證．