Question

如圖，在四面體ABCD中，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，求證：
（1）MN∥平面ABD；
（2）若BD⊥DC，MN⊥AD，則BD⊥AC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知M，N是AE，AF的三等分點(diǎn)，得到AM：AE=AN：AF=2：3，得到MN∥EF，所以MN∥BD．利用線面平行的判定定理可證；
（2）由MN⊥AD，得到BD⊥AD，結(jié)合BD⊥DC，利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面ADC，所以BD⊥AC．

解答： 證明：（1）∵M(jìn)，N分別是△ABC和△ACD的重心，
∴AM：AE=AN：AC=2：3，
∴MN∥EF，又E，F(xiàn)時(shí)BC，CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，
∴MN∥BD，又MN?平面ABD，BD?平面ABD，
∴MN∥平面ABD；
（2）由（1）知MN∥BD，又MN⊥AD，
∴BD⊥AD，又BD⊥DC，AD∩DC=D
∴BD⊥平面ADC，
∴BD⊥AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，關(guān)鍵時(shí)將所證轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系解決，屬于常規(guī)題．