Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若{S_n}是首項(xiàng)為S₁，各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n（用S₁和q表示）；
（2）試比較a_n+a_n+2與2a_n+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出S_n的表達(dá)式，結(jié)合a_n與S_n的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）利用作差法，結(jié)合公比q的取值范圍即可比較a_n+a_n+2與2a_n+1的大小．

解答： 解：（1）∵{S_n}是首項(xiàng)為S₁，各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，
∴S_n=S₁q^n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=S₁q^n-1-S₁q^n-2=（S₁q-S₁）q^n-2，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

a1， n=1 (S1q-S1)qn-2， n≥2

；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，（2）當(dāng)n=1時(shí)，∵a₁+a₃-2a₂=S₁+S₁（q-1）q-2S₁（q-1）
=S1[(q-

3

2

)2+

3

4

]＞0，
∴a₁+a₃＞2a₂．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+a_n+2-2a_n+1=S₁（q-1）q^n-2+S₁（q-1）qⁿ-2S₁（q-1）q^n-1=S₁（q-1）³q^n-2．
∵S₁＞0，q^n-2＞0，
①當(dāng)q=1時(shí)，（q-1）³=0，∴a_n+a_n+2=2a_n+1；
②當(dāng)0＜q＜1時(shí)，（q-1）³＜0，∴a_n+a_n+2＜2a_n+1；
③當(dāng)q＞1時(shí)，（q-1）³＞0，∴a_n+a_n+2＞2a_n+1．
綜上，我們可知當(dāng)n=1時(shí)，a₁+a₃＞2a₂．
當(dāng)n≥2時(shí)，若q=1，則a_n+a_n+2=2a_n+1；若
0＜q＜1，則a_n+a_n+2＜2a_n+1；
若q＞1，則a_n+a_n+2＞2a_n+1．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及不等式的大小比較，注意使用分類討論的數(shù)學(xué)思想．