Question

（2006•寶山區(qū)二模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC₁與底面成60°角，E、F分別為AA₁、AB的中點(diǎn)．求異面直線EF與A₁C所成角的大小．

Answer 1

分析：連結(jié)A₁B可得A₁B∥EF，可得∠BA₁C即為異面直線EF與A₁C所成的角．根據(jù)AC₁與底面成60°角，結(jié)合AC=2算出得AC₁=4．利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出BC⊥平面AA₁C₁C，得到RtA₁BC中tan∠BA₁C=

1

2

，即可得出異面直線EF與A₁C所成角的大小．

解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC
∴∠C₁AC就是直線AC₁與底面ABC所成角，
可得Rt△C₁AC中，∠C₁AC=60°，結(jié)合AC=2得AC₁=4，…（3分）
連結(jié)A₁B，則EF是△A₁AB的中位線
∴A₁B∥EF，可得∠BA₁C即為異面直線EF與A₁C所成的角，…（6分）
又∵∠ACB=90°，得BC⊥AC
∴結(jié)合BC⊥A₁A，且AC∩A₁A=A，可得BC⊥平面AA₁C₁C…（9分）
∵A₁C?平面AA₁C₁C，∴BC⊥A₁C
因此，RtA₁BC中，得tan∠BA1C=

BC

A1C

=

1

2

，即∠BA1C=arctan

1

2

∴異面直線EF與A₁C所成角的大小為arctan

1

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的直棱柱中求異面直線所成角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．