Question

若方程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有兩個不同的實數解x，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意由于程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有兩個不同的實數解x，此方程屬于超越方程不能具體解出該方程的解，只能利用方程與函數相結合，利用函數圖象的交點的個數即可．

解答：解：由題意由于方程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有兩個不同的實數解x，不妨記f（x）=cos2x+

3

sin2x，g（x）=a+1，
∵x∈[0，

π

2

]，使得方程cos2x+

3

sin2x=a+1有兩個不同的實數解，等價于函數f（x）與g（x）在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的交點，又因為f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

） 由于x∈[0，

π

2

]，∴f（x）∈[-1，2]，要使的兩個函數圖形有兩個交點必須使得1≤a+1＜2，即0≤a＜1．
故答案為：0≤a＜1

點評：此題重點考查了數形結合的思想及函數與方程的思想，此外還考查了利用輔助角公式化成同一個角的三角函數的形式，并且利用三角函數的知識及與一次函數知識得到a的符合題意的式子．