Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝cos xsin 2x，下列結(jié)論中正確的是________(填入正確結(jié)論的序號).

①y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π，0)中心對稱；

②y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝π對稱；

③f(x)的最大值為；

④f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù).

Answer 1

【答案】①④

【解析】依題意，對于①，f(4π－x)＝cos(4π－x)·sin[2(4π－x)]＝－cos x·sin 2x＝－f(x)，因此函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π，0)中心對稱，①正確；對于②，f＝，f＝－，因此f≠f，函數(shù)y＝f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝π對稱，②不正確；對于③，f(x)＝2sin xcos2x＝2(sin x－sin3x)；令t＝sin x，則y＝2(t－t3)，t∈[－1,1]，y′＝2(1－3t2)，當(dāng)－＜t＜時(shí)，y′＞0；當(dāng)－1≤t＜－或＜t≤1時(shí)，y′＜0，因此函數(shù)y＝2(t－t3)在[－1,1]上的最大值是y＝2＝，即函數(shù)f(x)的最大值是，③不正確；對于④，f(－x)＝－f(x)，且f(2π＋x)＝2sin(2π＋x)cos2(2π＋x)＝2sin xcos2x＝f(x)，因此函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，④正確.綜上所述，其中正確的結(jié)論是①④.