【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2x+c,且f(x)>0的解集是
(1)求f(2)的最小值及f(2)取最小值時f(x)的解析式;
(2)在f(2)取得最小值時,若對于任意的x>2,f(x)+4≥m(x﹣2)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意可得 ac=1c>0

所以f(2)=4a﹣4+c≥2 ﹣4=0,

當且僅當4a=c即 時“=”成立,

由a= ,c=2得:f(x)= x2﹣2x+2


(2)解:由(1)可得f(x)= x2﹣2x+2= (x﹣2)2,

因為對于任意的x∈(2,+∞),f(x)+4≥m(x﹣2)恒成立,

∴m≤ (x﹣2)+ 在x∈(2,+∞),恒成立,

故[ (x﹣2)+ ]min≥m即可,

又函數(shù)y= (x﹣2)+ 在x∈(2,+∞)上遞增,

所以[ (x﹣2)+ ]min=2 ,

當且僅當x=2+2 時“=”成立,

∴m≤2 ;


【解析】(1)由f(x)>0的解集是 { x | x ≠ }可得出該二次函數(shù)的開口向上故a>1,與x軸有且只有一個交點故f()=0,可得出f(x)的解析式,f(2)的值,(2)由(1)求出的解析式,由于對于任意的x∈(2,+∞),f(x)+4≥m(x﹣2)恒成立,進行參變分離,得到m≤ (x﹣2)+ 在x∈(2,+∞)恒成立,從而求出m的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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