Question

【題目】我校為進行“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S（平方米）的矩形AMPN健身場地．如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價為 元，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為 元（k為正常數(shù)）．

（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）求總造價T關(guān)于面積S的函數(shù)T=f（S）；
（3）如何選取|AM|，使總造價T最低（不要求求出最低造價）．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△PMC中，顯然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，

∴ ，

矩形AMPN的面積 ，x∈[10，20]，

由x（30﹣x）≤（ ）2=225，當x=15時，可得最大值為225 ，

當x=10或20時，取得最小值200 ，

于是 為所求．

（2）解：矩形AMPN健身場地造價T1= ，

又△ABC的面積為 ，即草坪造價T2= ，

由總造價T=T1+T2，

∴ ，

（3）解：∵ ，

當且僅當 即 時等號成立，

此時 ，解得x=12或x=18，

答：選取|AM|的長為12米或18米時總造價T最低

【解析】（1）根據(jù)題意，得到健身場地的面積，再結(jié)合矩形的面積計算公式求出面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得范圍，（2）由三角形的面積和題意得到總造價，得到范圍，（3）使用均值不等式得到造價最低時的x=12或x=18.
【考點精析】掌握函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)的值是解答本題的根本，需要知道利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�；函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．