【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n﹣3,n∈N*
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a1的值;
(2)當(dāng)a1=﹣3時,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(3)若對任意的n∈N* , 都有 ≥5成立,求a1的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵an+1+an=4n﹣3,n∈N*,∴a2+a1=1,a3+a2=5,
∴a3﹣a1=5﹣1=4,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則2d=4,解得d=2.
∴2a1+2=1,解得a1=﹣
(2)解:∵an+1+an=4n﹣3,an+2+an+1=4n+1,∴an+2﹣an=4,a2=4.
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列,公差都為4.
∴a2k﹣1=﹣3+4(k﹣1)=4k﹣7;a2k=4+4(k﹣1)=4k.
∴an= ,
∴當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=(a1+a2)+…+(an﹣1+an)=﹣3+9+…+(4n﹣3)= = .
當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=Sn+1﹣an+1= ﹣2(n+1)= .
∴Sn=
(3)解:由(2)可知:an= .
當(dāng)n為奇數(shù)時,an=2n﹣2+a1,an+1=2n﹣1﹣a1,
由 ≥5成立,an+1+an=4n﹣3,可得: ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10,
令f(n)=﹣4n2+16n﹣10=﹣4(n﹣2)2+6,當(dāng)n=1或3時,[f(n)]max=2,∴ ﹣a1≥2,解得a1≥2或a1≤﹣1.
當(dāng)n為偶數(shù)時,an=2n﹣3﹣a1,an+1=2n+a1,
由 ≥5成立,an+1+an=4n﹣3,可得: +3a1≥﹣4n2+16n﹣12,
令g(n)=﹣4n2+16n﹣12=﹣4(n﹣2)2+4,當(dāng)n=2時,[f(n)]max=4,∴ +3a1≥4,解得a1≥1或a1≤﹣4.
綜上所述可得:a1的取值范圍是(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞).
【解析】(1)由an+1+an=4n﹣3,n∈N* , 可得a2+a1=1,a3+a2=5,相減可得a3﹣a1=5﹣1=4,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,可得2d=4,解得d.(2)由an+1+an=4n﹣3,an+2+an+1=4n+1,可得an+2﹣an=4,a2=4.可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列,公差都為4.對n分類討論利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.(3)由(2)可知:an= .當(dāng)n為奇數(shù)時,an=2n﹣2+a1 , an+1=2n﹣1﹣a1 , 由 ≥5成立,an+1+an=4n﹣3,可得: ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10,令f(n)=﹣4n2+16n﹣10,求出其最大值即可得出.當(dāng)n為偶數(shù)時,同理可得.
【考點精析】通過靈活運用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項和,掌握如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若直線 與曲線和分別交于兩點.設(shè)曲線
在點處的切線為, 在點處的切線為.
(ⅰ)當(dāng)時,若 ,求的值;
(ⅱ)若,求的最大值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)恰有兩個不同的極值點, ,且.
若,且恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班(人數(shù)均為 人)進行教學(xué)(兩班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)勤奮程度和自覺性一致),數(shù)學(xué)期終考試成績莖葉圖如下:
(1)現(xiàn)從乙班數(shù)學(xué)成績不低于 分的同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué),求至少有一名成績?yōu)?/span> 分的同學(xué)被抽中的概率;
(2)學(xué)校規(guī)定:成績不低于 分的優(yōu)秀,請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表,并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.
附:參考公式及數(shù)據(jù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù),都有,且,則稱函數(shù)為“L函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)與是否是“L函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“L函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“L函數(shù)”,且,求證:對任意,都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣kx+(2k﹣3).
(1)若k= 時,解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)>0對任意x∈R恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)兩個不同的零點均大于 ,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點.
(1)求證:C1D∥平面AB1E;
(2)求證:BC1⊥B1E;
(3)若AB= ,求二面角E﹣AB1﹣B的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為大力提倡“厲行節(jié)儉,反對浪費”,某高中通過隨機詢問100名性別不同的學(xué)生是否做到“光盤”行動,得到如表所示聯(lián)表及附表:
做不到“光盤”行動 | 做到“光盤”行動 | |
男 | 45 | 10 |
女 | 30 | 15 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
經(jīng)計算:K2= ≈3.03,參考附表,得到的正確結(jié)論是( )
A.有95%的把握認為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別有關(guān)”
B.有95%的把握認為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別無關(guān)”
C.有90%的把握認為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別有關(guān)”
D.有90%的把握認為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.
(1)求圓的直角坐標方程;
(2)設(shè)圓與直線交于點,若點的坐標為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn= + .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an+2﹣an+ ,且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 求證:Tn<2n+ .
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