Question

在底面直徑和高均為a的圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，則該內(nèi)接圓柱的最大體積為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、高為h，在△AOS中利用線段成比例，算出h=a-2r，從而得到內(nèi)接圓柱的體積為V=aπr²-2πr³，再用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，可得在（0，）上單調(diào)增，（，）上單調(diào)減，得出當(dāng)r=時(shí)，該內(nèi)接圓柱的最大體積為．
解答：解：設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h
則在△AOS中，=，解得h=a-2r
∴內(nèi)接圓柱的體積為V=πr²h=aπr²-2πr³（0＜r＜）
∵V'=2aπr-6πr²=2πr（a-3r）
∴0＜r＜時(shí)，V'＞0；＜r＜時(shí)V'＜0．
由此可得V在（0，）上是增函數(shù)，（，）上是減函數(shù)
∴當(dāng)r=時(shí)，圓柱的最大體積為V（）=
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題給出底面直徑與高相等的圓錐，求它的內(nèi)接圓柱的最大體積，著重考查了旋轉(zhuǎn)體的體積公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)屬于基礎(chǔ)題．