Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程是

x=1+t y= 3 t

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+2ρsinθ-2=0，求直線l的極坐標(biāo)方程，若直線與曲線相交于A、B，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：首先，根據(jù)直線的參數(shù)方程，化為普通方程，然后，將普通方程化為極坐標(biāo)方程，然后，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后聯(lián)立方程組，并結(jié)合弦長公式進(jìn)行求解．

解答： 解：∵直線l的參數(shù)方程是

x=1+t y= 3 t

（t為參數(shù)），
∴直線的普通方程為：

3

x-y-

3

=0，
斜率為k=

3

，
∴直線l的極坐標(biāo)方程

3

ρcosθ-ρsinθ-

3

=0，
根據(jù)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+2ρsinθ-2=0，
得x²-y²+2y-2=0，
聯(lián)立方程組

x2-y2+2y-2=0 y= 3 (x-1)

，
整理得2x2-(6+2

3

)x+2

3

+5=0，
∴x₁+x₂=3+

3

，
x₁•x₂=

1

2

(2

3

+5)，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=2

2 3 +2

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了直線的參數(shù)方程和普通方程、極坐標(biāo)方程、雙曲線的極坐標(biāo)方程等知識(shí)，屬于中檔題．