Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-m-lnx，其中m∈R．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求m的值并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)m≤-1時(shí)，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（I）由x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，可得f'（1）=0，進(jìn)而可得m=0，進(jìn)而分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)m≤-1，x∈（0，+∞）時(shí)，由e^x≥x+1恒成立和x+1＞lnx恒成立，可得當(dāng)m≤-1，e^x-1-m＞lnx，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-1-m-lnx，
∴f′（x）=e^x-1-m-

1

x

∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f'（1）=0，解得m=0
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=e^x-1-lnx，
f′(x)=ex-1-

1

x

為（0，+∞）上的增函數(shù)，
又由于f′（1）=0，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）遞減；
x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）遞增；
（Ⅱ）當(dāng)m≤-1時(shí)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
令g（x）=e^x-（x+1），則g′（x）=e^x-1＞0
故g（x）=e^x-（x+1）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴g（x）＞g（0）=0
故e^x＞x+1恒成立；
令h（x）=x+1-lnx，則h′（x）=1-

1

x

，
∵x∈（0，1），h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＞0
故h（x）≥h（1）=2
即x+1＞lnx恒成立，
所以當(dāng)m≤-1，e^x-1-m≥e^x＞x+1＞lnx
所以，f（x）＞0成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，熟練掌握導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)定義域，及函數(shù)最值時(shí)的功能是解答的關(guān)鍵．