Question

在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項式系數的和；
（2）奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和；
（3）奇數項系數和與偶數項系數和．

Answer 1

分析：（1）由（1+1）¹⁰=

C 0 10 +C

1 10

+…+

C

10 10

可求得結果；
（2）根據奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和可得結果；
（3）設（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，分別令x=y=1；x=1，y=-1可得兩式，聯立即可求得答案；

解答：解：（1）（2x-3y）¹⁰的二項式系數和為

C 0 10 +C

1 10

+…+

C

10 10

=（1+1）¹⁰=2¹⁰；
（2）由于奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和，
所以，奇數項的二項式系數和為

C

0 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2⁹，
偶數項的二項式系數和為

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

=2⁹．
（3）設（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，
令x=y=1，得到a₀+a₁+a₂+…a₁₀=1①，
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰②，
①+②得2（a₀+a₂+…a₁₀）=1+5¹⁰，∴奇數項的系數和為

1+510

2

，
①-②得2（a₁+a₃+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶數項的系數和為

1-510

2

．

點評：本題考查二項式定理的應用，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．