Question

在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；
（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（3）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．

Answer 1

（1）（2x-3y）¹⁰的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C 010 +C

110

+…+

C

1010

=（1+1）¹⁰=2¹⁰；
（2）由于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，
所以，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

010

+

C

210

+…+

C

1010

=2⁹，
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

110

+

C

310

+…

C

910

=2⁹．
（3）設(shè)（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，
令x=y=1，得到a₀+a₁+a₂+…a₁₀=1①，
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰②，
①+②得2（a₀+a₂+…a₁₀）=1+5¹⁰，∴奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

1+510

2

，
①-②得2（a₁+a₃+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

1-510

2

．