Question

對(duì)?n∈N^*，1³+2³+…+（n-1）³＜n⁴•S＜1³+2³+…+n³恒成立，則S=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由1³+2³+…+n³=

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n2(n+1)2，把對(duì)?n∈N^*，1³+2³+…+（n-1）³＜n⁴•S＜1³+2³+…+n³恒成立轉(zhuǎn)化為

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(n-1)2n2＜n4S＜

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n2(n+1)2恒成立，兩邊同時(shí)除以4n²后可得滿足不等式恒成立的S的值．

解答： 解：首先證明1³+2³+…+n³=

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n2(n+1)2．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=1³=1，右邊=

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×12×(1+1)2=1，左邊=右邊，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即13+23+…+k3=

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k2(k+1)2，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，1³+2³+…+k³+（k+1）³=

1

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k2(k+1)2+(k+1)3=

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(k+1)2(k2+4k+4)=

1

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(k+1)2(k+2)2．
即n=k+1時(shí)等式成立．
綜①②所述，等式13+23+…+k3=

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k2(k+1)2對(duì)于任意的n∈N^*都成立．
則對(duì)?n∈N^*，1³+2³+…+（n-1）³＜n⁴•S＜1³+2³+…+n³恒成立，可轉(zhuǎn)化為

1

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(n-1)2n2＜n4S＜

1

4

n2(n+1)2恒成立．
即

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(

n-1

n

)2＜S＜

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(

n+1

n

)2，∴S=

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故答案為：

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點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于運(yùn)用等式1³+2³+…+n³=

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4

n2(n+1)2把原不等式轉(zhuǎn)化，是中檔題．