Question

某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x-

1

2

x²（萬元）（0≤x≤5），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）．
（1）把利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤最大？
（3）年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？

Answer 1

分析：（1）利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R（x）與其總成本C（x）之差，而總成本C（x）=固定成本（5000）+生產(chǎn)消耗成本（每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元）；（2）求利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)的最大值；（3）企業(yè)才不虧本是指利潤非負(fù)，即解不等式y(tǒng)≥0，求得x的值．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，
當(dāng)x＞5時(shí)，只能銷售500臺，
所以y=

5x-0.5x2-(0.5+0.25x)     0≤x≤5 (5×5-0.5×52)-(0.5+0.25x)  x＞5

=

4.75x-0.5x2-0.5    (0≤x≤5) 12-0.25x               (x＞5)

（2）在0≤x≤5時(shí)，y=-0.5x²+4.75x-0.5，
當(dāng)x=-

b

2a

=4.75（百臺）時(shí)，y_max=10.78125（萬元），
當(dāng)x＞5（百臺）時(shí)，
y＜12-0.25×5=10.75（萬元），
所以當(dāng)生產(chǎn)475臺時(shí)，利潤最大．
（3）要使企業(yè)不虧本，即要求0≤x≤5，-0.5x²+4.75x-0.5≥0或x＞5，12-0.25x≥0
解得5≥x≥4.75-

21.5625

≈0.1（百臺）或5＜x≤48（百臺）時(shí)，
即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺到4800臺之間時(shí)，企業(yè)不虧本．

點(diǎn)評：考查根據(jù)實(shí)際問題抽象函數(shù)模型的能力，并能根據(jù)模型的解決，指導(dǎo)實(shí)際生活中的決策問題，在解模的過程中應(yīng)用了函數(shù)的單調(diào)性求最值，和借助于三角函數(shù)的有界性放縮不等式，屬中檔題．